Question

4．已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，M為AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、DM．
（1）當(dāng)∠C=70°時(shí)（如圖），求∠EDM的度數(shù)；
（2）當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形；設(shè)∠C=α，用α表示∠EDM（可直接寫出）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=70°，D為BC的中點(diǎn)，進(jìn)而利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到DE=DC，并利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出∠EDC的度數(shù)，然后利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求出∠MDB的度數(shù)，再利用平角的定義可求出∠EDM的度數(shù)；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可以得到ED=DC，MD=BM，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠DEC=∠C=α，∠MBD=∠MDB=α，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EDC=180°-2α，再利用平角的定義求解即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，
∴D為BC中點(diǎn)，∠ABC=∠C=70°，
∵BE⊥AC，∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠C=70°，
∴∠EDC=180°-2×70°=40°，
∵AD⊥BC，M為AC的中點(diǎn)，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=BM，
∴∠MDB=∠ABC=70°，
∴∠EDM=180°-∠EDC-∠BDM=70°；
（2）如圖，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中點(diǎn)，
又∵BE⊥AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠C=α，
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，AD⊥BC，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=BM，
∴∠MBD=∠MDB=α，
∴∠EDM=180°-∠MDB-∠EDC=α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握并能靈活運(yùn)用相關(guān)的各個(gè)定理與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．