Question

14．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形OACB的頂點(diǎn)A，B分別在x，y軸上，已知OA=3，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，1），CD=5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段A-C-B的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時停止運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒
（1）求B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對稱點(diǎn)E落在x軸上時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）②情況下，直線OP上求一點(diǎn)F，使FE+FA最�。�

Answer 1

分析 （1）由四邊形OACB是矩形，得到BC=OA=3，在R_t△BCD中，由勾股定理得到BD=$\sqrt{{CD}^{2}{-BC}^{2}}$=4，OB=5，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，OD=1，BC=3，S=$\frac{3}{2}$，當(dāng)點(diǎn)在BC上時，OD=1，BP=5+3-t=8-t，得到S=$\frac{1}{2}$×1×（8-t）=-$\frac{1}{2}$t+4；
②當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對稱點(diǎn)落在x軸上時，得到點(diǎn)D的對稱點(diǎn)是（1，0），求得E（1，0）；
（3）由點(diǎn)D、E關(guān)于OP對稱，連接AD交OP于F，找到點(diǎn)F，從而確定AD的長度就是AF+EF的最小值，在R_t△AOD中，由勾股定理求得AD=$\sqrt{{OD}^{2}{+AO}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，即AF+EF的最小值=$\sqrt{10}$．

解答 解（1）∵四邊形OACB是矩形，
∴BC=OA=3，
在R_t△BCD中，∵CD=5，BC=3，
∴BD=$\sqrt{{CD}^{2}{-BC}^{2}}$=4，
∴OB=5，
∴B（0，5），C（3，5）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，OD=1，BC=3，
∴S=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)點(diǎn)在BC上時，OD=1，BP=5+3-t=8-t，
∴S=$\frac{1}{2}$×1×（8-t）=-$\frac{1}{2}$t+4；（t≥0）
②當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對稱點(diǎn)落在x軸上時，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)是（1，0），
∴E（1，0）；

（3）如圖2∵點(diǎn)D、E關(guān)于OP對稱，連接AD交OP于F，
則AD的長度就是AF+EF的最小值，則點(diǎn)F即為所求．

點(diǎn)評 本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)，動點(diǎn)問題，求三角形的面積，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求對稱點(diǎn)，求線段和的最小值．