Question

2．閱讀材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶的值．
解：設(shè) S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶，①
將①×2得：2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁷，②
由 ②-①得：2S-S=2²⁰¹⁷-1，即S=2²⁰¹⁷-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1
請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 仿照例子，設(shè)S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，由此可得出3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹，兩者做差即可得出3S-S=3ⁿ⁺¹-1，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ①（其中n為正整數(shù)），
將①×3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹②，
由②-①得：3S-S=3ⁿ⁺¹-1，即S=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$，
故1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=$\frac{{3}^{n+1}-1}{2}$（其中n為正整數(shù)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是仿照例子計(jì)算1+3+3²+3³+…+3ⁿ．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，本題其實(shí)是等比數(shù)列的求和公式，但初中未接觸過該方面的知識(shí)，需要借助于錯(cuò)位相減法來求出結(jié)論．