Question

12．把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后第1次將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時，點O運動到了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處，第2次又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°…，按上述方法經(jīng)過29次旋轉(zhuǎn)后，頂點O經(jīng)過的總路程為$\frac{7\sqrt{2}+15}{2}$π．

Answer 1

分析 為了便于標注字母，且更清晰的觀察，每次旋轉(zhuǎn)后向右稍微平移一點，作出前幾次旋轉(zhuǎn)后的圖形，點O的第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對角線長為半徑，以90°圓心角的扇形，第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形；
①根據(jù)弧長公式列式進行計算即可得解；
②求出29次旋轉(zhuǎn)中有幾個4次，然后根據(jù)以上的結(jié)論進行計算即可求解．

解答 解：如圖，為了便于標注字母，且位置更清晰，每次旋轉(zhuǎn)后不防向右移動一點，
第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π；
第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對角線長$\sqrt{2}$為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π；
第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π；
第4次旋轉(zhuǎn)點O沒有移動，旋轉(zhuǎn)后與最初正方形的放置相同，
因此4次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路線長為$\frac{1}{2}$π+$\frac{\sqrt{2}}{2}$π+$\frac{1}{2}$π=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$π；
∵29÷4=7…1，
∴經(jīng)過29次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是4次旋轉(zhuǎn)路程的7倍加上第1次路線長，即$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$π×7+$\frac{1}{2}$π=$\frac{7\sqrt{2}+15}{2}$π．

故答案為：$\frac{7\sqrt{2}+15}{2}$π．

點評 本題考查了弧長的計算和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及弧長的計算，讀懂題意，并根據(jù)題意作出圖形更形象直觀，且有利于旋轉(zhuǎn)變換規(guī)律的發(fā)現(xiàn)．