Question

16．已知直線y₁=x-5與雙曲線y₂=-$\frac{6-{p}^{2}}{x}$．
（1）求證：無(wú)論p取何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且滿足x₁²+x₂²=3x₁x₂，求實(shí)數(shù)p的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)解析式，得到方程x²-5x+6-p²=0，求根的判別式△，當(dāng)△＞0時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系的關(guān)系求出兩根和與兩根積，再把x₁²+x₂²=3x₁x₂變形，化成和與乘積的形式，代入計(jì)算，得到一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-5}\\{y=-\frac{6-{p}^{2}}{x}}\end{array}\right.$，可得x²-5x+6-p²=0，
∴△=（-5）²-4×1×（6-p²）=25-24+4p²=1+4p²，
∵無(wú)論p取何值時(shí)，總有4p²≥0，
∴△=1+4p²＞0，
∴無(wú)論p取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
又∵x₁²+x₂²=3x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3x₁x₂，
∴5²=5（6-p²），
解得p=±1，
∴實(shí)數(shù)p的值為±1．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，主要考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．