Question

6．如圖，拋物線y=ax²+4x+c（a≠0）與直線y=x-1交于A、B兩點，點A的橫坐標為-3，B在y軸上，P點是第三象限內拋物線上一動點，橫坐標為m，過P作PC⊥x軸于C，交直線AB于點D．
（1）求a和c；
（2）當△PAD為直角三角形時，求出點P的坐標；
（3）是否存在點P，使S_△PBD：S_{四邊形OBDC}=1：2？若存在，直接寫出P點橫坐標m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A橫坐標代入y=x-1，得出點A縱坐標，再將x=0代入y=x-1，得出點B坐標，把點A，B坐標代入拋物線解析式，從而得出a與c的值；
（2）如圖2，當∠APD=90°時，設出P點的坐標，就可以表示出D的坐標，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，根據比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解；
（3）存在點P，使S_△PBD：S_{四邊形OBDC}=1：2，連結OP，由P點的橫坐標為m可以表示出P、D的坐標，由此表示出S_{四邊形OBDC}和2S_△BPD建立方程求出其解即可．

解答 解：（1）∵點A的橫坐標為-3，點A在直線y=x-1上，
∴點A的縱坐標為-4，
∵B在y軸上，
∴點B的坐標為（0，-1），
把點A和點C的坐標分別代入拋物線y=ax²+4x+c（a≠0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4=9a-12+c}\\{-1=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$；
（2）如圖2，當∠APD=90°時，設P（m，m²+4m-1），則D（m，m-1），
∴AP=m+3，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴DP=1-4m-m²-1+m=-3m-m²．
在y=x-1中，當y=0時，x=1，
∴F（1，0），
∴OF=1，
∴CF=1-m．AF=4$\sqrt{2}$．
∵PC⊥x軸，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
∴$\frac{AP}{CF}=\frac{DP}{CD}$，
∴$\frac{m+3}{1-m}=\frac{-3m-{m}^{2}}{1-m}$，
解得：m=-1或m=-3（舍去），
∴P（-1，-4）
如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，
∴∠AEF=90°，CE=m+3，EF=4，AF=4$\sqrt{2}$，PD=m-1-（-1+4m+m²）=-3m-m²．
∵PC⊥x軸，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD，
∴$\frac{4}{3+m}=\frac{4\sqrt{2}}{AD}$，
∴AD=$\sqrt{2}$（3+m）．
∵△PAD∽△FEA，
∴$\frac{PD}{FA}$=$\frac{AD}{AE}$，
$\frac{-3m-{m}^{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}（3+m）}{4}$，
∴m=-2或m=-3（舍去），
∴P（-2，-5），
當∠APD=90°時，
∴點A與點P關于對稱軸對稱
∵A（-3，-4）
∴P（-1，-4）
綜上，存在點P（-2，-5）或P（-1，-4）使△PAD是直角三角形；
（3）存在點P，使S_△PBD：S_{四邊形OBDC}=1：2，理由如下：
∵P點橫坐標是m（m＜0），
∴P（m，m²+4m-1），D（m，m-1），
如圖1①，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²，
∴$\frac{-m（1+1-m）}{2}$=2×$\frac{-m（-3m-{m}^{2}）}{2}$，
解得：m₁=0（舍去），m₂=-2，m₃=-$\frac{1}{2}$；
如圖1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=m²+4m-1+1-m=3m+m²，
∴$\frac{-m（1+1-m）}{2}$=2×$\frac{-m（{m}^{2}+3m）}{2}$，
解得：m=0（舍去）或m=$\frac{-7+\sqrt{65}}{4}$（舍去）或m=$\frac{-7-\sqrt{65}}{4}$
∴m=-$\frac{1}{2}$，-2或$\frac{-7-\sqrt{65}}{4}$時，使S_△PBD：S_{四邊形OBDC}=1：2．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式的運用，四邊形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，相似三角形的判定及性質的運用，解答時函數的解析式是關鍵，用相似三角形的性質求解是難點．