Question

7．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足-M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．
（1）若函數(shù)y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；
（2）將函數(shù)y=x²（-1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時(shí)，滿足$\frac{3}{4}$≤t≤1？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的增減性、邊界值確定a=-1；然后由“函數(shù)的最大值也是2”來求b的取值范圍；
（2）需要分類討論：m＜1和m≥1兩種情況．由函數(shù)解析式得到該函數(shù)圖象過點(diǎn)（-1，1）、（0，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到這兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)分別是（-1，1-m）、（0，-m）；最后由函數(shù)邊界值的定義列出不等式$\frac{3}{4}$≤1，-m≤1-m≤1或-1≤-m≤-$\frac{3}{4}$，易求m取值范圍：0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=-x+1的圖象是y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=a時(shí)，y=-a+1=2，則a=-1
當(dāng)x=b時(shí)，y=-b+1．則$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-b+1＜2}\\{b＞a}\\{a=-1}\end{array}\right.$，
∴-1＜b≤3；

（2）若m＞1，函數(shù)向下平移m個(gè)單位后，x=0時(shí)，函數(shù)值小于-1，此時(shí)函數(shù)的邊界t＞1，與題意不符，故m≤1．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=1 即過點(diǎn)（-1，1）
當(dāng)x=0時(shí)，y_最小=0，即過點(diǎn)（0，0），
都向下平移m個(gè)單位，則
（-1，1-m）、（0，-m）$\frac{3}{4}$≤1-m≤1或-1≤-m≤-$\frac{3}{4}$，
∴0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時(shí)要熟悉平移變換的性質(zhì)，掌握“有界函數(shù)”和“有界函數(shù)的邊界值”的定義是解題的關(guān)鍵．