Question

如圖，拋物線y=-x²+2x的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為第四象限的拋物線上一點(diǎn)，以PM為直徑的⊙O′恰好以過(guò)點(diǎn)O，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：由拋物線y=-x²+2x的頂點(diǎn)為M，可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），可求出MP的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到PM與ON的長(zhǎng)度，由PM=2ON列方程，可得出x+y=0，由P（x，y）在拋物線y=-x²+2x上，可解得x的值，把x的值代入拋物線即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：如圖，

∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴M（1，1），設(shè)P（x，y），
∴MP的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

x+1

2

，

y+1

2

），
∴PM=

(x-1)2+(y-1)2

，
ON=

( x+1 2 )2+( y+1 2 )2

，
∵PM=2ON，
∴

(x-1)2+(y-1)2

=2

( x+1 2 )2+( y+1 2 )2

，化簡(jiǎn)得，x+y=0，
又∵P（x，y）在拋物線y=-x²+2x上，
∴-x=-x²+2x，解得x₁=0（舍去），x₂=3，
把x=3代入y=-9+6=-3．
∴P（3，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用圓的直徑是半徑的2倍即PM=2ON，列出方程求解．