Question

已知：點A在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，OA=

13

，OB=2．
（1）求反比例函數(shù)的函數(shù)解析式；
（2）點P在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，點P到y(tǒng)軸的距離是m，過點P作y軸的平行線，交直線OA于點D，設線段PD的長為d （d≠0），求d與m之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當m=6時，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）運用勾股定理可以求出點A的坐標，然后把點A的坐標代入y=

k

x

即可求出反比例函數(shù)的函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)點A的坐標可求出直線OA的解析式，由于PD∥y軸，因此點P、點D的橫坐標都是m，從而可以用m的代數(shù)式表示出點P、點D的縱坐標，然后分三種情況（0＜m＜2，m=2，m＞2）進行討論，就可解決問題．
（3）由m=6可求出點P的坐標，然后分別以AB與AP、BA與BP、PA與PB為平行四邊形的鄰邊進行討論，就可求出點Q的坐標．

解答：解：（1）∵AB⊥OB，OA=

13

，OB=2，
∴AB=

OA2-OB2

=

13-4

=3．
∴點A的坐標為（2，3）．
∵點A在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴k=2×3=6．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

（x＞0）．

（2）設直線OA的解析式為y=ax．
∵點A（2，3）在直線OA上，
∴3=2a．
∴a=

3

2

．
∴直線OA的解析式為y=

3

2

x．
①當0＜m＜2時，如圖1，

∵PD∥y軸，
∴x_D=x_P=m．
∴d=PD=y_P-y_D
=

6

m

-

3

2

m．
②當m=2時，點P、D、A重合，
此時PD=0，與條件PD≠0矛盾，故舍去．
③當m＞2時，如圖2，

同理可得：d=y_D-y_P=

3

2

m-

6

m

．
綜上所述：當0＜m＜2時，d=

6

m

-

3

2

m；當m＞2時，d=

3

2

m-

6

m

．

（3）當m=6時，y=

6

6

=1，此時點P的坐標為（6，1）．
①若以AB、AP為平行四邊形的鄰邊，如圖3，

∵四邊形ABQP是平行四邊形，
∴AB∥PQ，AB=PQ=3．
∵AB⊥x軸，
∴PQ⊥x軸．
∴點Q的坐標為（6，1-3）即（6，-2）．
②若以BA、BP為平行四邊形的鄰邊，如圖4，

同理可得：點Q的坐標為（6，4）．
③若以PA、PB為平行四邊形的鄰邊，
過點Q作QE⊥AB于點E，過點P作PF⊥AB于點F，如圖5，

則有∠AEQ=∠BFP=90°．
∵四邊形APBQ是平行四邊形，
∴QA=PB，QA∥BP．
∴∠QAE=∠PBF．
在△QAE和△PBF中，

∠QAE=∠PBF ∠AEQ=∠BFP QA=PB

．
∴△QAE≌△PBF．
∴QE=PF，AE=BF，
設點Q的坐標為（x，y），
則2-x=6-2，3-y=1-0．
解得：x=-2，y=2．
∴點Q的坐標為（-2，2）．
綜上所述：當以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，點Q的坐標為（6，-2）或（6，4）或（-2，2）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還重點考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道好題．