Question

14．小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y=$\frac{4}{（x-1）^{2}+1}$圖象與性質(zhì)進行了探究，下面是小東的探究過程，請補充完整，并解決相關(guān)問題：
（1）函數(shù)y=$\frac{4}{（x-1）^{2}+1}$的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；
（2）如表是y與x的幾組對應(yīng)值．

x

…

-2

-1

-$\frac{1}{2}$

0

$\frac{1}{2}$

1

$\frac{3}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

3

4

…

y

…

$\frac{2}{5}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{16}{13}$

2

$\frac{16}{5}$

4

$\frac{16}{5}$

2

$\frac{16}{13}$

$\frac{4}{5}$

m

…

表中m的值為$\frac{2}{5}$；
（3）如圖，在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出函數(shù)y=$\frac{4}{（x-1）^{2}+1}$的大致圖象；

（4）結(jié)合函數(shù)圖象，請寫出函數(shù)y=$\frac{4}{（x-1）^{2}+1}$的一條性質(zhì)：①圖象位于一二象限，②當(dāng)x=1時，函數(shù)由值最大4，③當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大，④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，⑤圖象與x軸沒有交點．
（5）解決問題：如果函數(shù)y=$\frac{4}{（x-1）^{2}+1}$與直線y=a的交點有2個，那么a的取值范圍是0＜a＜4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)描點法畫函數(shù)圖象，可得答案；
（4）根據(jù)圖象的變化趨勢，可得答案；
（5）根據(jù)圖象，可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{4}{（x-1）^{2}+1}$的自變量x的取值范圍是：全體實數(shù)，
故答案為：全體實數(shù)；
（2）把x=4代入y=$\frac{4}{（x-1）^{2}+1}$得，y=$\frac{4}{（4-1）^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$，
∴m=$\frac{2}{5}$，
故答案為：$\frac{2}{5}$；
（3）如圖所示，
（4）①圖象位于一二象限，②當(dāng)x=1時，函數(shù)由值最大4，③當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大，④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，⑤圖象與x軸沒有交點．
故答案為：①圖象位于一二象限，②當(dāng)x=1時，函數(shù)由值最大4，③當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大，④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，⑤圖象與x軸沒有交點．
（5）由圖象，得
0＜a＜4．
故答案為：0＜a＜4．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，利用描點法畫函數(shù)圖象，利用圖象得出函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．