Question

19．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AN交DM，BD于點(diǎn)E、F．
（1）若BN=NC，如圖1，
①求證：FN=$\frac{1}{2}$AF；
②求EF；
（2）若BN=2NC，如圖2，直接寫出AE：EF：FN=15：9：16（不用說(shuō)明理由）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)BN∥AD，得出△AFD∽△NFB，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到$\frac{FN}{FA}$=$\frac{1}{2}$，據(jù)此可得FN=$\frac{1}{2}$AF；
②下根據(jù)①中的結(jié)論得到AF=$\frac{2}{3}$AN=$\frac{10}{3}$，再延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)△AED∽△NEG，求得AE=$\frac{2}{5}$AN=2，最后根據(jù)EF=AF-AE進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)△AFD∽△NFB，求得FN=$\frac{2}{5}$AN，再延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)△AED∽△NEG，求得AE=$\frac{3}{8}$AN，進(jìn)而得到EF=AN-AE-FN=AN-$\frac{3}{8}$AN-$\frac{2}{5}$AN=$\frac{9}{40}$AN，最后根據(jù)AE：EF：FN=$\frac{3}{8}$：$\frac{9}{40}$：$\frac{2}{5}$進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）①∵BN∥AD，
∴△AFD∽△NFB，
∴$\frac{FN}{FA}$=$\frac{BN}{DA}$，
∵BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴$\frac{BN}{DA}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{FN}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∴FN=$\frac{1}{2}$AF；
②∵AB=4，BC=6，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴BN=3，AN=5，
∵$\frac{BN}{DA}$=$\frac{FN}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∴FN=$\frac{1}{2}$AF，即AF=$\frac{2}{3}$AN=$\frac{10}{3}$，
如圖1，延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于G，則
∵AD∥GB，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AM}{BM}$=1，
∴AD=BG=2BN，即$\frac{AD}{GN}$=$\frac{2}{3}$，
∵AD∥GN，
∴△AED∽△NEG，
∴$\frac{AE}{NE}$=$\frac{AD}{NG}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{2}{5}$AN=2，
∴EF=AF-AE=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$；

（2）∵AD∥BN，
∴△AFD∽△NFB，
∴$\frac{FN}{FA}$=$\frac{BN}{DA}$，
又∵BN=2NC，
∴BN=$\frac{2}{3}$BC=4，而AD=6，
∴$\frac{FN}{FA}$=$\frac{2}{3}$，即FN=$\frac{2}{5}$AN，
如圖2，延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于G，則
∵AD∥GB，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AM}{BM}$=1，
∴AD=BG=6，GN=6+4=10，
∵AD∥GN，
∴△AED∽△NEG，
∴$\frac{AE}{NE}$=$\frac{AD}{NG}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{3}{8}$AN，
∴EF=AN-AE-FN=AN-$\frac{3}{8}$AN-$\frac{2}{5}$AN=$\frac{9}{40}$AN，
∴AE：EF：FN=$\frac{3}{8}$：$\frac{9}{40}$：$\frac{2}{5}$=15：9：16．
故答案為：15：9：16．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解．