Question

8．利用圖形的面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，也可以解釋不等式的正確性．
（1）根據(jù)如圖所示的圖形寫出一個代數(shù)恒等式；
（2）已知x-$\frac{1}{x}$=3（其中x＞0），求x+$\frac{1}{x}$的值；
（3）已知正數(shù)a、b、c和m、n、l滿足a+m=b+n=c+l=k，請你構造一個圖形，并利用圖形的面積說明al+bm+cn＜k²．

Answer 1

分析 （1）利用面積分割法，可求陰影部分面積，各部分用代數(shù)式表示即可；
（2）將x-$\frac{1}{x}$=3兩邊平方可得${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=11$，先將x+$\frac{1}{x}$兩邊平方可求得其值，再開方根據(jù)x＞0可得x+$\frac{1}{x}$的值；
（3）利用面積分割法，可構造正方形，使其邊長等于a+m=b+n=c+l=k（注意a≠b≠c，m≠n≠l），并且正方形里有邊長是a、l；b、m；c、n的長方形，通過畫成的圖可發(fā)現(xiàn)，al+bm+cn＜k²．

解答 解：（1）由圖可得，4ab=（a+b）²-（a-b）²；
（2）∵x-$\frac{1}{x}$=3（其中x＞0），
∴$（x-\frac{1}{x}）^{2}={3}^{2}$，
即${x}^{2}-2+\frac{1}{{x}^{2}}=9$，
∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=11$，
∴$（x+\frac{1}{x}）^{2}={x}^{2}+2+\frac{1}{{x}^{2}}=13$，
∵x＞0，
∴$x+\frac{1}{x}=\sqrt{13}$；
（3）構造一個邊長為k的正方形，如圖所示：顯然a+m=b+n=c+l=k，

根據(jù)圖形可知，正方形內部3個矩形的面積和小于正方形的面積，
故al+bm+cn＜k²．

點評 本題主要考查完全平方公式的幾何背景及公式間的相互轉化，利用幾何圖形推導代數(shù)恒等式，要注意幾何圖形整體面積與各部分面積的關系．