Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y₁=ax+b（a，b為常數，且a≠0）與反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$（m為常數，且m≠0）的圖象交于點A（-2，1）、B（1，-n）
（1）求反比例函數和一次函數解析式；
（2）連接OA、OB，求△AOB的面積；
（3）直接寫出當y₁＜y₂時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據A點的坐標可以求出m的值，即得出反比例函數的解析式；再代入x=1，可以求出n的值，由此得出B點的坐標，將A、B的坐標代入一次函數解析式，得出關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；
（2）由兩點間的距離公式可以求出線段AB的長，由點到直線的距離公式可以得出O點到線段AB的距離，結合三角形的面積公式即可得出結論；
（3）顯然當y₁＜y₂時，一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，結合圖形可直接得出結論．

解答 解：（1）將點A（-2，1）代入反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$中，得1=$\frac{m}{-2}$，
解得：m=-2．
故反比例函數的解析式為y₂=$\frac{-2}{x}$．
令x=1，則y=$\frac{-2}{1}$=-2，
即點B的坐標為（1，-2）．
將A（-2，1）、B（1，-2）代入一次函數y₁=ax+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{1=-2a+b}\\{-2=a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
故一次函數解析式為y₁=-x-1．
（2）一次函數解析式為y₁=-x-1，即x+y₁+1=0
點O到直線AB的距離h=$\frac{|1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵點A（-2，1）、點B（1，-2），
∴AB=$\sqrt{[（-2）-1]^{2}+[1-（-2）]^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
△AOB的面積為$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
（3）觀察圖象可知當直線AB的圖象在反比例函數圖象的上方時有y₁＜y₂，
當x＜-2時，y₁＜y₂；
當0≤x＜1時，y₁＜y₂．
故當y₁＜y₂時，自變量x的取值范圍為x＜-2或0≤x＜1．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、兩點間的距離公式、點到直線的距離以及三角形的面積公式，解題的關鍵是：（1）利用點在函數圖象上，代入解方程即可；（2）套入三角形的面積公式；（3）數形結合找出結論．本題屬于中檔題，難度不大，但做題過程稍顯繁瑣，利用待定系數法求函數解析式是解決該類問題的關鍵．