Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，?ABCD的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，OA=4，OC=2，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別是邊BC、邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，△PQB沿PQ所在直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處．
（1）若?OABC是矩形．
①寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
②如圖1，若點(diǎn)B₁落在OA上，且點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（3，0），求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（2）若OC⊥AC，如圖2，過點(diǎn)B₁作B₁F∥x軸，與對角線AC、邊OC分別交于點(diǎn)E、F．若B₁F=3B₁E，點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為m，求點(diǎn)B₁的縱坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示），并直接寫出點(diǎn)B₁的所有可能的情況下，m的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)OA=4，OC=2，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②首先設(shè)AQ=x，由點(diǎn)B關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)為B₁，可得B₁Q=BQ=2-x，然后由在Rt△AB₁Q中，由AQ²+AB₁²=B₁Q²，得方程：x²+1=（2-x）²，解此方程解可求得答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，且分點(diǎn)在線段EF的延長線和線段上兩種情況進(jìn)行分析求解可求得答案．

解答 解：（1）∵OA=4，OC=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）；

②設(shè)AQ=x，點(diǎn)B關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)為B₁，則B₁Q=BQ=2-x，
∵點(diǎn)B₁落在OA上，點(diǎn)B₁（3，0），
∴OB₁=3，
∴AB₁=4-3=1，
在Rt△AB₁Q中，由AQ²+AB₁²=B₁Q²，
得：x²+1=（2-x）²，
解得：x=$\frac{3}{4}$；
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（4，$\frac{3}{4}$）；

（2）∵四邊形OABC為平行四邊形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，
∴∠OAC=30°，
∴點(diǎn)C（1，$\sqrt{3}$），
∵B₁F=3B₁E，
∴點(diǎn)B₁不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合，也不在線段EF的延長線上，
①當(dāng)點(diǎn)B₁在線段FE的延長線上時(shí)，如圖2，延長B₁F與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為m，B₁F∥x軸，
∵B₁F=3B₁E，
∴B₁G=m，
設(shè)OG=a，
則GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴CF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴EF=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a，B₁E=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴B₁G=B₁E+EF+FG=（2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）+（4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=m，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$m+$\frac{6}{5}$$\sqrt{3}$，即B₁的縱坐標(biāo)為-$\frac{\sqrt{3}}{5}$m+$\frac{6}{5}$$\sqrt{3}$，
如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，可得點(diǎn)B′橫坐標(biāo)的最小值，
作CH⊥EF于H，B′T⊥OA于T，設(shè)FH=n，則CF=2n，EF=4n，EB′=2n，OF=2-2n，F(xiàn)G=1-n，GB=1+5n，
在Rt△AB′T中，易知TB′=OG=$\sqrt{3}$（1-n），AB′=2，AT=4-（1+5n）=3-5n，
∴[$\sqrt{3}$（1-n）]²+（3-5n）²=2²，
解得n=$\frac{2}{7}$或-1（舍棄），
∴GB′=1+$\frac{10}{7}$=$\frac{17}{7}$，
如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，可得點(diǎn)B′橫坐標(biāo)的最大值，
作CH⊥EF于H，設(shè)FH=n，則CF=2n，EF=4n，EB′=2n，OF=2-2n，F(xiàn)G=1-n，GB=1+5n，
在Rt△CB′H中，易知CH=$\sqrt{3}$n，HB′=5n，CB′=CB=4，
∴（$\sqrt{3}$n）²+（5n）²=4²，
解得n=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
∴GB′=1+5n=1+$\frac{10\sqrt{7}}{7}$
∴m的取值范圍是$\frac{17}{7}$≤m≤1+$\frac{10}{7}$$\sqrt{7}$；
②當(dāng)點(diǎn)B₁在線段EF（除點(diǎn)E，F(xiàn)）上時(shí)，如圖3，延長B₁F與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為m，B₁F∥x軸，
B₁F=3B₁E，
∴B₁G=m，
設(shè)OG=a，
則GF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴CF=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴FE=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，B₁F=$\frac{3}{4}$EF=3-$\sqrt{3}$a，
∴B₁G=B₁F+FG=（3-$\sqrt{3}$a）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=m，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，即點(diǎn)B₁的縱坐標(biāo)為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
同法可求m的取值范圍是：$\frac{15}{7}$≤m≤3．
∴m的最大值為：1+$\frac{10}{7}$$\sqrt{7}$，最小值為：$\frac{15}{7}$．

點(diǎn)評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)，分點(diǎn)在線段EF的延長線和線段上兩種情況進(jìn)行分析求解．