Question

16．（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E在邊AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)；
（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=40°，點(diǎn)D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，則∠DCE=110°；
（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），點(diǎn)D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)（直接寫(xiě)出答案，用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由AD=AC，BC=BE，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠ACD=（180°-∠A）÷2，∠BCE=（180°-∠B）÷2，而∠A+∠B=90°，那么求出∠ACD+∠BCE=135°，則∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=90°；
（2）由AD=AC，BC=BE，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，而∠CAD+∠CBE=220°，那么求出∠ACD+∠BCE=70°，則∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=110°；
（3）分四種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)D、E在邊AB上，同（1）可求出∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$n°；②點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，同（2）可求出∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$n°；③點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，求出∠DCE=$\frac{1}{2}$n°；④點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊AB上，求出∠DCE=$\frac{1}{2}$n°．

解答 解：（1）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠A）÷2，∠BCE=（180°-∠B）÷2，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACD+∠BCE=180°-（∠A+∠B）÷2=180°-45°=135°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=135°-90°=45°；

（2）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°-∠CAB+180°-∠ABC=360°-（180°-∠ACB）=180°+40°=220°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°-∠CAD）÷2+（180°-∠CBE）÷2=180°-（∠CAD+∠CBE）÷2=180°-220°÷2=70°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=70°+40°=110°．
故答案為110°；

（3）分四種情況進(jìn)行討論：
①點(diǎn)D、E在邊AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠A）÷2，∠BCE=（180°-∠B）÷2，
∵∠A+∠B=180°-n°，
∴∠ACD+∠BCE=180°-（∠A+∠B）÷2=180°-90°+$\frac{1}{2}$n°=90°+$\frac{1}{2}$n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=90°+$\frac{1}{2}$n°-n°=90°-$\frac{1}{2}$n°；
②點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°-∠CAB+180°-∠ABC=360°-（180°-∠ACB）=180°+n°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°-∠CAD）÷2+（180°-∠CBE）÷2=180°-（∠CAD+∠CBE）÷2=180°-90°-$\frac{1}{2}$n°=90°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$n°+n°=90°+$\frac{1}{2}$n°；
③如圖1，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CBE=∠CAD+∠ACB=∠CAD+n°，
∴∠CAD-∠CBE=-n°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠ACB-∠ACD+∠BCE=n°-（180°-∠CAD）÷2+（180°-∠CBE）÷2=n°+（∠CAD-∠CBE）÷2=n°-$\frac{1}{2}$n°=$\frac{1}{2}$n°；
④如圖2，點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°-∠CAD）÷2，∠BCE=（180°-∠CBE）÷2，
∵∠CAD=∠CBE+∠ACB=∠CBE+n°，
∴∠CBE-∠CAD=-n°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠ACD+∠ACB-∠BCE=n°+（180°-∠CAD）÷2-（180°-∠CBE）÷2=n°+（∠CBE-∠CAD）÷2=n°-$\frac{1}{2}$n°=$\frac{1}{2}$n°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．