Question

17．如圖，兩個(gè)正方形ABDE和ACFG如圖擺放．
（1）若M是DF的中點(diǎn)，試判斷BM和MC的位置關(guān)系；
（2）設(shè)AH是△ABC中BC邊上的高，EG交AH于點(diǎn)N，求證：GN=GF；
（3）設(shè)直線BF和CD交于點(diǎn)P，求證：AP⊥BC．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BM⊥CM．如圖1中，延長(zhǎng)BM到H，使得MH=BM，連接BF、DH、AF、EH、CE、BC、BC、CH．首先證明四邊形BDFH，四邊形AEHF是平行四邊形，再證明△BAC≌△HFC，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）過(guò)G作GT∥AE交AH的延長(zhǎng)線于T．連接ET．由△GAT≌△ADB，推出GT=AB=AE，由GT∥AE，推出四邊形AGTE是平行四邊形，即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)A作AS⊥BC于Q，且AS=BC，連接PS、CS、BS．先證明△BCF≌△SAC，△BAS≌△DBC，想辦法證明S是△BCP的垂心，推出A、S、P共線，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：結(jié)論：BM⊥CM．
理由：延長(zhǎng)BM到H，使得MH=BM，連接BF、DH、AF、EH、CE、BC、BC、CH．

∵四邊形ABDE、四邊形AGFC是正方形，
∴AC=FC，AB=BD，∠CAF=∠CFA=45°，∠GAC=∠BAE=90°，
∴∠BAG=∠EAC，
∵BM=MH，F(xiàn)M=DM，
∴四邊形BDHF是平行四邊形，
∴BD∥FH∥AE，BD=FH=AE，
∴四邊形AFHE是平行四邊形，
∴∠CFH+∠CFA+∠FAC+∠EAC=180°，
∴∠CFH=90°-∠EAC=90°-∠BAG=∠BAC，
在△BAC和△HFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CF}\\{∠BAC=∠CFH}\\{AB=FH}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△HFC，
∴BC=CH，∠ACB=∠FCH，
∴∠BCH=∠ACF=90°，
∵BM=MH，
∴CM⊥BH，CM=BM=MH，
∴CM⊥BM，CM=BM．

（2）證明：過(guò)G作GT∥AE交AH的延長(zhǎng)線于T．連接ET．

∵AT⊥BC，
∴∠AHC=∠AHB=∠GAC=90°，
∴∠GAT+∠CAH=90°，∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠GAT=∠ACB，
∵∠ABC+∠BAH=90°，∠BAH+∠ATG=90°，
∴∠ABC=∠ATG，
∵AG=AC，
∴△GAT≌△ADB，
∴GT=AB=AE，∵GT∥AE，
∴四邊形AGTE是平行四邊形，
∴GN=NE．

（3）證明：過(guò)A作AS⊥BC于Q，且AS=BC，連接PS、CS、BS．

∵∠CAS+∠ACQ=90°，∠ACQ+∠BCF=90°，
∴∠CAS=∠BCF，∵AC=CF，AS=BC，
∴△BCF≌△SAC，
∴∠FBC=∠CSA，
∵∠CSA+∠SCQ=90°，
∴∠SCQ+∠FBC=90°，
∴CS⊥BP，
∵∠ABQ+∠BAS=90°，∠ABQ+∠DBC=90°，
∴∠BAS=∠DBC，
∵AB=BD，BC=AS，
∴△BAS≌△DBC，
∴∠BCD=∠ASB，
∵∠ASB+∠SBQ=90°，
∴∠BCD+∠SBQ=90°，
∴BS⊥CD，∵CS⊥BP，
∴S是△BCP的垂心，
∴PS⊥BC，∵SA⊥BC，
∴A、S、P共線，
∴AP⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的判定和性質(zhì)、垂心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，第三個(gè)問(wèn)題比較難，證明S是△BCP的垂心是突破口，屬于中考?jí)狠S題．