Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線是由拋物線y=x²-3向右平移一個(gè)單位后得到的，它與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在該拋物線上，且橫坐標(biāo)為3．
（1）求點(diǎn)M、A、B坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）點(diǎn)P是頂點(diǎn)為M的拋物線上一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的右側(cè)，設(shè)PO與x正半軸的夾角為α，當(dāng)α=∠ABM時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移規(guī)律寫(xiě)出拋物線解析式，再求出M、A、B坐標(biāo)即可．
（2）首先證明△ABE∽△AMF，推出$\frac{AM}{AB}$的值，∠BAM=90°，根據(jù)tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$即可解決問(wèn)題．
（3）分點(diǎn)P在x軸上方或下方兩種情形解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-3向右平移一個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為y=（x-1）²-3，
∴頂點(diǎn)M（1，-3），
令x=0，則y=（0-1）²-3=-2，
∴點(diǎn)A（0，-2），
x=3時(shí)，y=（3-1）²-3=4-3=1，
∴點(diǎn)B（3，1），
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AO于E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，
∴tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，
∵y=（x-1）²-3=x²-2x-2，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，x²-2x-2），
①點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，$\frac{{x}^{2}-2x-2}{x}$=$\frac{1}{3}$，
整理得，3x²-7x-6=0，
解得x₁=-$\frac{2}{3}$（舍去），x₂=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）；
②點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，$\frac{-（{x}^{2}-2x-2）}{x}$=$\frac{1}{3}$，
整理得，3x²-5x-6=0，
解得x₁=$\frac{5-\sqrt{97}}{6}$（舍去），x₂=$\frac{5+\sqrt{97}}{6}$，x=$\frac{5+\sqrt{97}}{6}$時(shí)，y=x²-2x-2=$-\frac{{5+\sqrt{97}}}{18}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{{5+\sqrt{97}}}{6}$，$-\frac{{5+\sqrt{97}}}{18}$），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（$\frac{{5+\sqrt{97}}}{6}$，$-\frac{{5+\sqrt{97}}}{18}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論，注意考慮問(wèn)題要全面，屬于中考?jí)狠S題．