Question

如圖1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）如圖2，設(shè)M、N分別是BD、CE的中點，求證：△AMN也是等腰直角三角形；
（3）如圖3，設(shè)BD交CE于H，求證：AH平分∠BHE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)在等腰直角△ABC和等腰直角三角形ADE，可得出全等的條件：AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90°，即可證明：△ADF≌△CEF；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中點等于斜邊的一半，即可求得．
（3）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)即可求得．

解答：（1）∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
在△ABD與△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE=90° AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），

（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵M、N分別是BD、CE的中點，
AM=BM=DM=

1

2

BD，AN=CN=NE=

1

2

CE，
∴AM=AN，∠CAN=∠ACE=∠ABD，∠MAD=∠MDA，
又∵∠ABD+∠MDA=90°，
∴∠CAN+∠MAD=90°，
△AMN是等腰直角三角形．

（3）過A點作AG⊥BD，AF⊥CE，
在△ABG與△FCA中

∠ABG=∠ACF ∠AGB=∠AFC=90° AB=AC

∴△ABG≌△CAF（AAS）
∴AG=AF，
∴AH平分∠BHE．

點評：此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，稍微有點難度，屬于中檔題．