Question

14．如圖1，直角坐標(biāo)系中有一矩形OABC，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），直線y=$\frac{1}{2}$x交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線y=$\frac{1}{2}$x位于第一象限上的一點(diǎn)，連接PA，以PA為半徑作⊙P，
（1）連接AC，當(dāng)點(diǎn)P落在AC上時(shí)，求PA的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，求證：△PAD是等腰三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
①在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)⊙P與矩形OABC某一邊的交點(diǎn)恰為該邊的中點(diǎn)時(shí)，求所有滿足要求的m值；
②如圖2，記⊙P與直線y=$\frac{1}{2}$x的兩個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)P左下方），當(dāng)DE，DF滿足$\frac{1}{3}$＜$\frac{DE}{DF}$＜3時(shí)，求m的取值范圍．（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析 （1）由△OPC∽△ADP，可得$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{OC}$，求出AC、AD即可解決問(wèn)題；
（2）只要證明∠PDA=∠DAP即可．
（3）①分三種情形分別求解即可ⅰ）如圖2中，交點(diǎn)M是OC中點(diǎn)，PM=PA；ⅱ）如圖3中，交點(diǎn)M是OA中點(diǎn)，PM=PA；ⅲ）如圖4中，交點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，PM=PA；ⅳ）如圖5中，交點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，PM=PA；
②如圖6中，當(dāng)DE=3DF時(shí)，易知PA=2PD．由此列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵B（3，4）∴BC=3，AB=4
∵∠B=90°∴AC=5
∵OC∥AB，
∴△OPC∽△ADP，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{OC}$，
即$\frac{AP}{5-AP}=\frac{1.5}{4}$
∴$AP=\frac{15}{11}$．

（2）∵⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，
∴OP=AP
∴∠POA=∠PAO，
∵∠PDA+∠POA=∠DAP+∠PAO，
∴∠PDA=∠DAP，
∴△PAD是等腰三角形．

（3）①分4種情形討論：
ⅰ）如圖2中，

交點(diǎn)M是OC中點(diǎn)，PM=PA
則${m^2}+{（2-\frac{1}{2}m）^2}={（\frac{1}{2}m）^2}+{（3-m）^2}$，
解得$m=\frac{5}{4}$．
ⅱ）如圖3中，

交點(diǎn)M是OA中點(diǎn)，PM=PA
∴MG=GA=$\frac{3}{4}$，
∴$m=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$．
ⅲ）如圖4中，

交點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，PM=PA
∴PG=$\frac{1}{2}$AM=1，
∴PH=2DH=2×$（\frac{3}{2}-1）$=1，
∴m=2．
ⅳ）如圖5中，

交點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，PM=PA
則${（m-\frac{3}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}m-4）^2}={（m-3）^2}+{（\frac{1}{2}m）^2}$，
解得$m=\frac{37}{4}$．
綜上所述，滿足要求的m值為$\frac{5}{4}$或$\frac{9}{4}$或2或$\frac{37}{4}$．
②如圖6中，當(dāng)DE=3DF時(shí)，易知PA=2PD．

設(shè)P（m，$\frac{m}{2}$），則$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{m}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{m}{2}-\frac{3}{2}）^{2}}$，
解得m=$\frac{12}{5}$或4，
當(dāng)m=4時(shí)，ED=$\frac{1}{3}$DF，
綜上可知，當(dāng)DE，DF滿足$\frac{1}{3}$＜$\frac{DE}{DF}$＜3時(shí)，m的取值范圍為$\frac{12}{5}$＜m＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理．兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)關(guān)鍵方程，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考?jí)狠S題．