Question

10．如圖，四邊形ABCD為矩形，DE∥AC，且DE=AB，過點E作AD的垂線交AC于點F．
（1）依題意補全圖，并證明四邊形EFCD是菱形； 
（2）若AB=3，BC=3$\sqrt{3}$，求平行線DE與AC間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠EHD=∠ADC，再利用菱形的判定證明即可；
（2）過點D作DG⊥AC于G，利用三角函數(shù)進行解答即可．

解答 （1）證明：根據(jù)題意補全圖，如圖1：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB，
∵EF⊥AD，
∴∠EHD=90°，
∴∠EHD=∠ADC，
∴EF∥CD，
又∵DE∥AC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
又∵DE=AB，
∴DE=CD，
∴四邊形EFCD是菱形；
（2）解：過點D作DG⊥AC于G，如圖2：

在Rt△ABC中，AB=3，BC=$3\sqrt{3}$，
∴$tan∠ACB=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=3，
∴∠ACB=30°，
∴∠1=60°，
∴在Rt△DCG中，CD=3，$DG=CD•sin∠1=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴平行線DE與AC間的距離是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠EHD=∠ADC，再利用菱形的判定進行分析．