Question

如圖在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，則既平分△ABC周長(zhǎng)又平分△ABC面積的直線有幾條？

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：分類討論

分析：可運(yùn)用勾股定理求出AB長(zhǎng)，從而求出△ABC周長(zhǎng)和面積；設(shè)既平分△ABC周長(zhǎng)又平分△ABC面積的直線為m，可分三種情況（①直線m與邊BC和邊AB相交，②直線m與邊AC和邊AB相交，③直線m與邊AC和邊BC相交）進(jìn)行討論，然后只需根據(jù)條件建立方程，求出符合要求的未知數(shù)的值，就可解決問(wèn)題．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴△ABC的周長(zhǎng)為12，△ABC的面積=

1

2

×3×4=6．
設(shè)既平分△ABC周長(zhǎng)又平分△ABC面積的直線為m，
①若直線m與邊BC交于點(diǎn)P，與邊AB交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于G，設(shè)PB=x，如圖1，
則∠PGB=∠C=90°，BQ=

12

2

-x=6-x，（0＜x≤4），S_△PQB=

1

2

S_△ABC=3，
∵∠B=∠B，∠PGB=∠C，
∴△PGB∽△ACB，
∴

PG

AC

=

PB

AB

，
∴

PG

3

=

x

5

，
∴PG=

3

5

x，
∴S_△PQB=

1

2

BQ•PG=

1

2

（6-x）•

3

5

x=3，
整理得：x²-6x+10=0．
∵△=（-6）²-4×1×10=-4＜0，
∴方程無(wú)解；
②若直線m與邊AC交于點(diǎn)D，與邊AB交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，設(shè)AD=y，如圖2，
則∠AHD=∠C=90°，AE=

12

2

-x=6-y，（0＜y≤3），S_△ADE=

1

2

S_△ABC=3，
同理可得：DH=

4

5

y，
∴S_△ADE=

1

2

AE•DH=

1

2

（6-y）•

4

5

y=3，
整理得：2y²-12y+15=0．
∵△=（-12）²-4×2×15=24＞0，
∴y=

12± 24

2×2

=3±

6

2

．
∵0＜y≤3，
∴y=3-

6

2

；
③若直線m與邊AC交于點(diǎn)M，與邊BC交于點(diǎn)N，設(shè)CM=m，如圖3，
則CN=

12

2

-m=6-m，（0＜m≤3），S_△CMN=

1

2

S_△ABC=3，
∴

1

2

m（6-m）=3，
整理得：m²-6m+6=0．
∵△=（-6）²-4×1×6=12＞0，
∴m=

6± 12

2×1

=3±

3

．
∵0＜m≤3，
∴m=3-

3

．
綜上所述：既平分△ABC周長(zhǎng)又平分△ABC面積的直線有2條．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、運(yùn)用公式法解一元二次方程、根的判別式、三角形的面積公式等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵，需要注意的是：解方程后，應(yīng)根據(jù)未知數(shù)的取值范圍進(jìn)行取舍．