Question

3．已知：如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），tan∠OAC=3；

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，且∠PAB=∠CAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N（M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)），
①若以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑；
②若Q（m，4）是直線MN上一動點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)C、B、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積等于6時，請直接寫出符合條件的m值，為3或11．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a、b的值即可；
（2）由題意可知tan∠PAB=3，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3（x+1），然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；
（3）先求得拋物線的對稱軸為x=1．①當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得R的值；當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），N（r+1，-r），將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得r的值；②先求得BC的解析式和BC的長，然后依據(jù)三角形的面積公式可求得BC邊上的高線長為2$\sqrt{2}$，然后求得直線BC與y=4的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的左側(cè)時，過點(diǎn)Q作QE⊥BC，則EQ=2$\sqrt{2}$，然后在△QDE中，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得QD的長，可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，同理當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的右側(cè)時，可求得點(diǎn)Q′的坐標(biāo)，故此可求得m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=3，
∴OA=1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x²-2x-3；
（2）∵∠PAB=∠CAB，
∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，
∵點(diǎn)P在x軸上方，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3（x+1），
∴3（x+1）=x²-2x-3，得x=-1（舍去）或x=6，當(dāng)x=6時，y=21，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，21）；
（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1．
①當(dāng)直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
∴R=（ R+1-1）²-4，解得：R=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$（負(fù)值舍去），
∴R=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$．
當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），
∴N（r+1，-r），
∴-r=（r+1-1）²-4，解得：r=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$（負(fù)值舍去），
∴r=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∴圓的半徑為：$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．
②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=1，b=-3，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
勾股定理可知：BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵△QCB的面積為6，
∴BC邊上的高線的長度=$\frac{6×2}{3\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
如圖1所示：即直線BC與y=4的交點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的左側(cè)時，過點(diǎn)Q作QE⊥BC，則EQ=2$\sqrt{2}$

將y=0代入得直線BC的解析式得：x-3=4，解得x=7，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，4）．
∵QD∥x軸，
∴∠QDC=∠OBC=45°．
∴QD=$\sqrt{2}$QE=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．
∴Q（3，4）．
∴m=3．
如圖1所示，當(dāng)Q位于點(diǎn)D的右側(cè)時（Q′處），過點(diǎn)Q′作Q′F⊥BC，垂足為F．則FQ=2$\sqrt{2}$，
同理可知：DQ′=4．
∴點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為（11，4）．
∴m=11．
綜上所述，m的值為3或11．
故答案為：3或11．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的對稱性，特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，三角形的面積公式，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．