Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，

3

），AB⊥x軸于點(diǎn)B，連結(jié)OA，過(guò)線段AB上一點(diǎn)F（不與點(diǎn)A重合）的反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與線段OA交于點(diǎn)E，若直線EF⊥OA，求直線EF的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：作EH⊥x軸于H，先得到OB=1，AB=

3

，則利用勾股定理計(jì)算出OA=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠A=30°，∠AOB=60°；設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a），則AF=

3

-a，在Rt△AEF中可得到EF=

1

2

AF=

3 -a

2

，AE=

3

EF=

3- 3 a

2

，所以O(shè)E=AO-AE=

3 a+1

2

，在Rt△OEH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OH=

1

2

OE=

3 a+1

4

，EH=

3

OH=

3a+ 3

4

，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（

3 a+1

4

，

3a+ 3

4

），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得1•a=

3 a+1

4

•

3a+ 3

4

，解此方程得到得a₁=

3

9

，a₂=

3

（舍去），由此得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，

3

3

），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

9

），最后利用待定系數(shù)法確定直線EF的解析式．

解答：解：作EH⊥x軸于H，如圖，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，

3

），
∴OB=1，AB=

3

，
而AB⊥x軸，
∴OA=

OB2+AB2

=2，
∴∠A=30°，∠AOB=60°，
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a），則AF=

3

-a，
在Rt△AEF中，∠A=30°，
∴EF=

1

2

AF=

3 -a

2

，
∴AE=

3

EF=

3- 3 a

2

，
∴OE=AO-AE=

3 a+1

2

，
在Rt△OEH中，∠OEH=30°，
∴OH=

1

2

OE=

3 a+1

4

，
∴EH=

3

OH=

3a+ 3

4

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

3 a+1

4

，

3a+ 3

4

），
∵點(diǎn)E、F都在y=

k

x

的圖象上，
∴1•a=

3 a+1

4

•

3a+ 3

4

，
整理得3

3

a²-10a+

3

=0，解得a₁=

3

9

，a₂=

3

（舍去），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

3

，

3

3

），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

9

），
設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n，
把E（

1

3

，

3

3

），F(xiàn)（1，

3

9

）代入得

1 3 m+n= 3 3 m+n= 3 9

，解得

m=- 3 3 n= 4 3 9

，
所以直線EF的解析式為y=-

3

3

x+

4 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用因式分解法解一元二次方程和利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．