Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)、F是CD上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE、EF、AC．
（1）求證：AO•OF=OC•OE；
（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD交AE于點(diǎn)G，求證：四邊形EFDG是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,梯形

專題：

分析：（1）由BC=2AD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得AD=CE，又由AD∥BC，可得四邊形AECD是平行四邊形，即可得AE∥CD，繼而證得△AOE∽△COF，即可判定AO•OF=OC•OE；
（2）易得EF是△BCD的中位線，則可判定四邊形EFDG是平行四邊形，又由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證得DG=EG，繼而證得四邊形EFDG是菱形．

解答：證明：（1）∵BC=2AD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴AD=EC=

1

2

BC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COF，
∴OA：OC=OE：OF，
∴AO•OF=OC•OE；

（2）∵E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，
∴EF是△BCD的中位線，
∴EF∥BD，
∵AE∥CD，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，
∵AD=BE=

1

2

BC，
∴AG=EG，DG=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BG=GE=

1

2

AE，
∴EG=DG，
∴四邊形EFDG是菱形．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．