Question

已知拋物線y=ax²-2ax-4與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，△ABC的面積為12．
（1）求拋物線的對稱軸及表達式；
（2）若點P在x軸上方的拋物線上，且tan∠PAB=

1

2

，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過C作射線交線段AP于點E，使得tan∠BCE=

1

2

，聯(lián)結(jié)BE，試問BE與BC是否垂直？請通過計算說明．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱軸直線公式求得對稱軸；由拋物線解析式求得點C的坐標，然后由三角形面積公式來求a的值；
（2）如圖，過P作PH⊥x軸于點H．根據(jù)已知條件可設(shè)PH=k，AH=2k，則P點的坐標是（2k-2，k）（k＞0）．根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到：k=

1

2

（2k-2）²-（2k-2）-4，則易求k的值；
（3）是．設(shè)AE交y軸于點D，通過證明△AOC∽△EBC，推知對應(yīng)角相等：∠EBC=∠AOC=90°，故BE⊥BC．

解答：（1）解：∵拋物線y=ax²-2ax-4，
∴與y軸交點C（0，-4）
∴對稱軸為直線x=

2a

2a

=1，
∵拋物線與x軸交于點A、B，且△ABC的面積為12，∴AB=6，
∴點A（-2，0），B（4，0），
∵拋物線過點A，
∴0=4a+4a-4，∴a=

1

2

，
∴拋物線表達式為y=

1

2

x²-x-4；

（2）解：如圖，過P作PH⊥x軸于點H．
∵tan∠PAB=

1

2

，
∴設(shè)PH=k，AH=2k，
∴P點的坐標是（2k-2，k）（k＞0）．
∵點P在拋物線上，
∴k=

1

2

（2k-2）²-（2k-2）-4，
∴k=

7

2

，
∴P（5，

7

2

）；

（3）是．
證明：設(shè)AE交y軸于點D，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴tan∠ACO=

1

2

，
∵tan∠PAB=

1

2

，
∴∠PAB=∠ACO，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠PAB+∠OAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵tan∠BCE=

1

2

，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠ACE=∠OCB
∵B（4，0），C（0，-4），
∴∠OCB=45°，∠ACE=45°，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴AO=2，OC=4，
∴AC=2

5

，
∴CE=2

10

，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴BC=4

2

在△AOC和△EBC中，

AC

OC

=

2 5

4

=

5

2

，

CE

CB

=

2 10

4 2

=

5

2

，
∴

AC

OC

=

CE

CB

，
又∠ACO=∠BCE，
∴△AOC∽△EBC，
∴∠EBC=∠AOC=90°，
∴BE⊥BC．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質(zhì)以及點的坐標與圖形性質(zhì)．綜合性強，能力要求極高．考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．