Question

12．如圖，已知點A，B，C，D均在⊙O上，CD為∠ACE的角平分線．
（1）求證：△ABD為等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）欲證明△ABD為等腰三角形，只要證明∠DBA=∠DAB即可．
（2）如圖2中，只要證明AB是直徑即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵CD平分∠EAC，
∴∠ECD=∠DCA，
∵∠ECD=∠DAB，∠DCA=∠DBA，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DB=DA．
∵△DBA是等腰三角形．

（2）如圖2中，

∵∠DCE=∠DCA=45°，
∴∠ECA=∠ACB=90°，
∴AB是直徑，
∴∠BDA=90°，
∵BD=AD=6，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+D{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半徑為3$\sqrt{2}$

點評 本題考查圓周角、圓內(nèi)接四邊形的性質、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于基礎題，中考�？碱}型．