Question

9．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，3），DE所在的直線是該拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）連接AD，P是AD上的動點，P′是點P關于DE的對稱點，連接PE，過點P′作PF∥PE，交x軸于點F，設四邊形PP′FE的面積為y，EF=x，求y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）只需運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式，然后運用配方法就可求出頂點D的坐標；
（2）易證四邊形PP′FE是平行四邊形，要求y與x之間的函數(shù)關系式，只需求出EF邊上的高（即點P的縱坐標），直線AD的解析式可求，由于P是AD上的動點，只需求出點P的橫坐標，只需利用PH=$\frac{1}{2}$PP′=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$x就可解決問題．

解答 解：（1）由題可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，得
頂點D的坐標為（1，4）；

（2）設直線AD的解析式為y=mx+n，
把A（-1，0），D（1，4）代入y=mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=2x+2．
∵P′是點P關于DE的對稱點，
∴PH=P′H，PP′⊥DE．
∵EF⊥DE，∴PP′∥EF．
又∵P′F∥PE，
∴四邊形PP′FE是平行四邊形，
∴PP′=EF=x，
∴PH=P′H=$\frac{1}{2}$PP′=$\frac{1}{2}$x，
∴PH=x_H-x_P=1-x_P=$\frac{1}{2}$x，
∴x_P=1-$\frac{1}{2}$x．
∵P是AD上的動點，
∴y_P=2（1-$\frac{1}{2}$x）+2=4-x，
∴y=EF•EH=x（4-x）=4x-x²=-x²+4x，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為y=-x²+4x．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、平行四邊形的判定與性質、軸對稱的性質等知識，用x的代數(shù)式表示點P的坐標是解決第2小題的關鍵．