Question

19．已知直線y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∠ABC=60°，BC與x軸交于C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若動點P從A點出發(fā)沿AC向點C運動（不與A、C重合），同時動點Q從C點出發(fā)沿C-B-A向點A運動（不與C、A重合），動點P的運動速度是每秒1個單位長度，動點Q的運動速度是每秒2個單位長度．設△APQ的面積為S，P點的運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當t=4秒時，y軸上有一點M，平面內是否存在一點N，使以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點A、點B的坐標，從而求得OA，OB的長度，利用tan$∠BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，得到∠BAO=60°，所以△ABC是等邊三角形，又OC=OA=4，確定C點坐標﹙4，0﹚，利用待定系數法求解析式，即可解答；
（2）分兩種情況進行解答：當P點在點A、O之間運動時，作QH⊥x軸．則AP=t，CQ=2t，因為∠ACB=60°，所以QH=CQ•sin$∠ACB=2t•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}t$，所以S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²（0＜t≤4），同理可得S_△APQ=$\frac{1}{2}$t•﹙8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t﹚=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t$﹙4≤t＜8﹚．
（3）存在，（4，0），（-4，8）（-4，-8）（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

解答 解：∵直線y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A點坐標（-4﹐0），B點坐標（0﹐4$\sqrt{3}$﹚
∵OA=4  OB=4$\sqrt{3}$，
∴tan$∠BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等邊三角形
∵OC=OA=4
∴C點坐標﹙4，0﹚
設直線BC解析式為y=kx﹢b，
把B點坐標（0﹐4$\sqrt{3}$﹚，C點坐標﹙4，0﹚代入y=kx+b得；
$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
﹙2﹚如圖1，當P點在點A、O之間運動時，作QH⊥x軸．

則AP=t，CQ=2t，
∵∠ACB=60°，
∴QH=CQ•sin$∠ACB=2t•\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}t$
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²（0＜t≤4），
如圖2，當P點在點O、C之間運動時，

同理可得S_△APQ=$\frac{1}{2}$t•﹙8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t﹚=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}t$﹙4≤t＜8﹚．
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4\sqrt{3}（4≤t＜8）}\end{array}\right.$
（3）存在，（4，0），（-4，8）（-4，-8）（-4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，等邊三角形的性質，三角形的面積公式、以及待定系數法求一次函數解析式，熟練掌握待定系數法、分類討論是解本題的關鍵．