Question

6．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，AE=CF，連接EF、BF，EF與對(duì)角線(xiàn)AC交于點(diǎn)O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，F(xiàn)C=2，則AB的長(zhǎng)為6．

Answer 1

分析 先證明△AOE≌△COF，RT△BFO≌RT△BFC，再證明△OBC、△BEF是等邊三角形即可就問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接BO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠FOC}\\{∠FCO=∠EAO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{FO=FC}\end{array}\right.$，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO=BC，
在RT△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，∵BE=BF，
∴△BEF是等邊三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線(xiàn)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)就問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．