Question

5．已知二次函數(shù)y═ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（-5，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出頂點(diǎn)D、點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若∠ADC=90°，試確定二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y═ax²+bx+c（a＞0）與x軸的交點(diǎn)可得解析式為y=a（x+5）（x-1）=ax²+4ax-5a=a（x+2）²-9a，從而得出答案；
（2）由A、D、C的坐標(biāo)得出AD²、CD²、AC²，根據(jù)∠ADC=90°知AD²+CD²=AC²，據(jù)此列出關(guān)于a的方程，解之可得a的值，從而得出答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y═ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A（-5，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線的解析式為y=a（x+5）（x-1）=ax²+4ax-5a=a（x+2）²-9a，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-9a），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-5a）；

（2）∵A（-5，0）、D（-2，-9a）、C（0，-5a），
∴AD²=（-2+5）²+（-9a-0）²=81a²+9，
CD²=（-2-0）²+（-9a+5a）²=16a²+4，
AC²=（0+5）²+（-5a-0）²=25a²+25，
∵∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，即81a²+9+16a²+4=25a²+25，
解得：a=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵a＞0，
∴a=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則該二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2）²-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式與拋物線與x的軸的交點(diǎn)問題、勾股定理逆定理，熟練掌握待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．