Question

15．如圖，直線l上擺放著兩塊大小相同的直角三角板，它們中較長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為$\sqrt{3}$cm，較小銳角的度數(shù)為30°．

（1）將△ECD沿直線AC翻折到如圖（a）的位置，ED′與AB相交于點(diǎn)F，則BD′=$\sqrt{3}$-1cm，∠BFD′=30度．
（2）將△ECD沿直線l向左平移到（b）的位置，使E點(diǎn)落在AB上，則平移的距離是1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm．
（3）將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△E′C D′，設(shè)DE與C D′的交點(diǎn)為M，若△CDM為等腰三角形，則旋轉(zhuǎn)角為30°或75°．（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜180°）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得D′C的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）由翻折的性質(zhì)，得
D′C=$\sqrt{3}$，
由∠A=30°，AC=$\sqrt{3}$，
tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BC}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
BC=1，
BD′=CD′-BC=$\sqrt{3}$-1，
由三角形外角的性質(zhì)，得
∠D′+∠BFD′=∠ABC=60°，
∠BFD′=60°-∠D′=60°-30°=30°；
（2）設(shè)平移的距離CC′為x，BC′=1-x，
由△BC′E′∽△BCA，得
$\frac{BC′}{BC}$=$\frac{E′C′}{AC}$，即$\frac{1-x}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得x=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）∠DCM=∠D=30°，△CDM為等腰三角形，即旋轉(zhuǎn)角為∠DCM=30°，
∠DCM=∠DMC=$\frac{180°-∠D}{2}$=75°，△CDM為等腰三角形，即旋轉(zhuǎn)角為∠DCM=75°，
故答案為：$\sqrt{3}$-1，30；1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；30°或75°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折的性質(zhì)，（1）利用了翻折的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形外角的性質(zhì)；（2）利用了相似三角形的性質(zhì)；（3）利用了等腰三角形的判定，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．