Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）過點O作OF⊥AC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：幾何圖形問題

分析：（1）首先得出△AEB≌△DEC，進(jìn)而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；
（2）由已知得出EF，BC的長，進(jìn)而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．

解答：（1）證明：在△AEB和△DEC中

∠A=∠D AE=ED ∠AEB=∠DEC

，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°；

（2）解：作BM⊥AC于點M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC為等邊三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=

5

2

，BM=

BC2-CM2

=

5 3

2

，
∴AM=AC-CM=

11

2

，
∴AB=

AM2+BM2

=7．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出CM，BM的長是解題關(guān)鍵．