Question

20．如圖1，拋物線y=-$\frac{6}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x+2的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，過點A作AD∥BC交拋物線的對稱軸于點D．
（1）求點D的坐標；
（2）如圖2，點P是拋物線在第一象限內的一點，作PQ⊥BC于Q，當PQ的長度最大時，在線段BC上找一點M（不與點B、點C重合），使PM+$\frac{2}{3}$BM的值最小，求點M的坐標及PM+$\frac{2}{3}$BM的最小值；
（3）拋物線的頂點為點E，平移拋物線，使拋物線的頂點E在直線AE上移動，點A，E平移后的對應點分別為點A′、E′．在平面內有一動點F，當以點A′、E′、B、F為頂點的四邊形為菱形時，求出點A′的坐標．

Answer 1

分析 （1）當y=0時，-$\frac{6}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x+2=0，解方程可得A（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），當x=0時，y=2，即C（0，2），根據待定系數(shù)法可求直線BC的解析式為y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2，根據平行兩直線間的關系可得直線AD的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$，根據拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，可得當x=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時，y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$=-$\frac{4}{3}$，即D點坐標為（$\frac{\sqrt{5}}{3}$，-$\frac{4}{3}$）；
（2）如圖1，作PF∥y軸交BC于F，則△PQF∽△BOC，根據相似三角形的性質可得PQ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$PF，設P（t，-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t+2），F(xiàn)（t，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t+2）可得PF=-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$t，當t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，PF取最大值，PQ取最大值，此時P（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5}{2}$），作MN⊥x軸于N，則△BMN∽△BOC，根據相似三角形的性質可得MN=$\frac{2}{3}$BM，則當P，M，N共線時，PM+$\frac{2}{3}$BM=PN=$\frac{5}{2}$，M（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1）
（3）如圖2所示，分三種情況：1）當A′E′=A′B，A′E′∥BF₁，A′E′=BF₁時四邊形A′E′F₁B是菱形；2）當A′E′=E′B，A′E′∥BF₂，A′E′=BF₂時四邊形A′E′F₂B是菱形；3）當A′B=E′B，A′F₃∥BE′，A′F₃=BE′時四邊形A′F₃E′B是菱形；進行討論即可求解．

解答 解：（1）當y=0時，-$\frac{6}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x+2=0，
解得x₁=$\sqrt{5}$，x₂=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即A（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），
當x=0時，y=2，即C（0，2），
直線BC的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2，
直線AD的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$，
拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
當x=$\frac{\sqrt{5}}{3}$時，y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$=-$\frac{4}{3}$，
即D點坐標為（$\frac{\sqrt{5}}{3}$，-$\frac{4}{3}$）；

（2）如圖1，作PF∥y軸交BC于F，
則△PQF∽△BOC，
∴$\frac{PQ}{PF}$=$\frac{BO}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$
即PQ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$PF
設P（t，-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t+2），F(xiàn)（t，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t+2）
∴PF=-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$t
當t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，PF取最大值，PQ取最大值，
此時P（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5}{2}$）
作MN⊥x軸于N，則△BMN∽△BOC，
∴$\frac{MN}{BM}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{2}{3}$
即MN=$\frac{2}{3}$BM，
則當P，M，N共線時，PM+$\frac{2}{3}$BM=PN=$\frac{5}{2}$，
M（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1）；

（3）如圖2所示，
1）當A′E′=A′B，A′E′∥BF₁，A′E′=BF₁時四邊形A′E′F₁B是菱形，
此時A₁′（$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{8}{3}$），A₂′（-$\frac{23\sqrt{5}}{63}$，-$\frac{8}{63}$）；
2）當A′E′=E′B，A′E′∥BF₂，A′E′=BF₂時四邊形A′E′F₂B是菱形，
此時A₃′（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，0），A₄′（-$\frac{65\sqrt{5}}{63}$，-$\frac{176}{63}$）；
3）當A′B=E′B，A′F₃∥BE′，A′F₃=BE′時四邊形A′F₃E′B是菱形，
此時A₅′（-$\frac{22\sqrt{5}}{63}$，-$\frac{4}{63}$）．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，相似三角形的性質，菱形的性質，要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，綜合性較強，有一定的難度．