Question

9．如圖，小明作出△A₁B₁C₁，稱為第一次操作，分別取△A₁B₁C₁的三邊中點(diǎn)A₂，B₂，C₂，作出△A₂B₂C₂，稱為第二次操作，用同樣的方法，作出△A₃B₃C₃，稱為第三次操作，…，第n次操作后，△A_nB_nC_n的面積S_n與△A₁B₁C₁的面積S₁之間的數(shù)量關(guān)系是S_n=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$S₁．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)得到△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，相似比為$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{4}$S₁，根據(jù)規(guī)律解答．

解答 解：∵點(diǎn)A₂，B₂，C₂是△A₁B₁C₁的三邊中點(diǎn)，
∴B₂C₂=$\frac{1}{2}$B₁C₁，
同理A₂C₂=$\frac{1}{2}$A₁C₁，B₂A₂=$\frac{1}{2}$B₁A₁，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，相似比為$\frac{1}{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{4}$S₁，
∴S₃=$\frac{1}{4}$S₂，
∴S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$S₁，
則S_n=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$S₁，
故答案為：S_n=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$S₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．