Question

如圖，相交兩圓的公共弦AB長(zhǎng)為120cm，它分別是一圓內(nèi)接正六邊形的邊和另一圓內(nèi)接正方形的邊，求兩圓相交弧間的陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：

分析：如圖，作輔助線，首先求出兩個(gè)扇形的圓心角、半徑，進(jìn)而求出兩個(gè)扇形的面積和兩個(gè)三角形的面積，運(yùn)用陰影部分的面積與上述面積之間的關(guān)系，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接O₁O₂，O₁A，O₁B，O₂A，O₂B；
則O₁O₂垂直平分AB，而AB=120，
∴AC=BC=60；
由題意得：∠AO1B=

1

6

×360°=60°，
∠AO2B=

1

4

×360°=90°；
∵O₁A=O₁B，O₂A=O₂B，
∴△O₁AB，△O₂AB分別是等邊三角形和等腰直角三角形，
∴O₁A=AB=120，O2C=

1

2

AB=60；O2A=

2

O2C=60

2

∴S扇形O1AB=

60π•1202

360

=2400π，S扇形O2AB=

90π•602×2

360

=1800π，
S△AO1B=

1

2

×1202×sin60°=3600

3

，S△AO2B=

1

2

×120×60=3600，
∴S_陰影=2400π+1800π-3600

3

-3600
=4200π-3600-3600

3

（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：該命題以圓的內(nèi)接正多邊形為載體，以考查正多邊形的性質(zhì)、相交兩圓的性質(zhì)、扇形的面積公式等幾何知識(shí)點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、解答．