Question

若正整數(shù)a，b是關于x的方程x²-

a2-9

13

x+10b+56+5

205+52b

=0的兩個根，求a，b．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：

分析：首先利用韋達定理得出關于a，b的等式，進而解方程得出a的值，再利用a，b為正整數(shù)得出符合題意值即可．

解答：解：根據(jù)韋達定理可得出：

a+b= a2-9 13 ① ab=10b+56+5 205+52b ②

，
由①得：a²-13a-13b-9=0，
解得關于a的方程得：a₁=

13+ 205+52b

2

，a₂=

13- 205+52b

2

＜0，（∵a，b是正整數(shù)，故舍去），
∴a=

13+ 205+52b

2

，
∴

205+52b

=2a-13代入②得：ab=10b+56+5（2a-13）
則-10a-10b+ab=-9，
故（a-10）（b-10）=91=1×91=7×13，
∵a，b是正整數(shù)，
∴

a-10=1 b-10=91

或

a-10=91 b-10=1

或

a-10=7 b-10=13

或

a-10=13 b-10=7

，
解得：

a=11 b=101

或

a=101 b=11

或

a=17 b=23

或

a=23 b=17

，
經(jīng)檢驗

a=23 b=17

滿足①、②，
故

a=23 b=17

．

點評：此題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，利用韋達定理得出關于a，b的等式是解題關鍵．