Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（2，1）、B（-1，-2）兩點(diǎn)．與x軸交于點(diǎn)C
（1）分別求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）在第一象限的反比例函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)D，使得△AOD的面積等于△AOC面積的4倍？若存在，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式，有點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，$\frac{2}{n}$）（n＞0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，$\frac{2}{n}$），利用三角形的面積結(jié)合△AOD的面積等于△AOC面積的4倍，即可得出關(guān)于n的分式方程，解方程即可得出n的值，將其代入點(diǎn)D的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
將點(diǎn)A（2，1）、B（-1，-2）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{1=2k+b}\\{-2=-k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-1．
將點(diǎn)A（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$中，
1=$\frac{m}{2}$，解得：m=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，$\frac{2}{n}$）（n＞0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，$\frac{2}{n}$）．
當(dāng)y=0時(shí)，有x-1=0，解得：x=1，
∴C（1，0）．
S_△AOD=S_矩形OEQF-S_△ODF-S_△OAE-S_△ADQ=2×$\frac{2}{n}$-$\frac{1}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×（2-n）×（$\frac{2}{n}$-1）=$\frac{2}{n}$-$\frac{n}{2}$=4S_AOC=4×$\frac{1}{2}$×1×1=2，
解得：n=2$\sqrt{2}$-2或n=-2$\sqrt{2}$-2（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)后得出n=2$\sqrt{2}$-2是方程$\frac{2}{n}$-$\frac{n}{2}$=2的解，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$+1）．
故在第一象限的反比例函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)D，使得△AOD的面積等于△AOC面積的4倍，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．