Question

15．已知關于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；
（2）若拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；（溫馨提示：整數(shù)點的橫、縱坐標都為整數(shù)）
（3）若點P（x₁，y₁）與Q（x₁+n，y₂）在（2）中拋物線上 （點P、Q不重合），且y₁=y₂，求代數(shù)式4x₁²+12x₁n+5n²+16n+200的值．

Answer 1

分析 （1）利用△求出關于m的式子，然后證明關于m的式子大于或等于0即可；
（2）利用根與系數(shù)的關系即可求出m的值；
（3）利用二次函數(shù)圖象的對稱性可知：2x₁=-4-n，然后代入代數(shù)式化簡即可求出答案．

解答 解：（1）由題意可知：△=（3m+1）²-4m×3=9m²-6m+1=（3m-1）²≥0，
∴不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；
（2）設拋物線與x軸交于（a，0）與（b，0），
令y=0代入y=mx²+（3m+1）x+3，
∴0=mx²+（3m+1）x+3，
∴a+b=-$\frac{3m+1}{m}$=-3-$\frac{1}{m}$，
ab=$\frac{3}{m}$，
∵a與b是整數(shù)，
∴$\frac{1}{m}$與$\frac{3}{m}$同為整數(shù)，
∵m是正整數(shù)，
∴m=1，
∴拋物線為y=x²+4x+3，
（3）由拋物線的對稱性可知：
當y1=y2時，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{1}+n}{2}=-2$，
∴2x₁=-4-n，
∴原式=（-4-n）²+6n（-4-n）+5n²+16n+200=216．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及一元二次方程，根與系數(shù)的關系，代入求值等問題，綜合程度較高．