Question

10．如圖1，已知拋物線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+3與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線l₂：y=kx+b與拋物線l₁交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)A，B到直線x=2的距離相等．
（1）求直線l₂的表達(dá)式；
（2）將直線l₂向下平移$\frac{5}{2}$個單位，平移后的直線l₃與拋物線l₁交于點(diǎn)C，D（如圖2），判斷直線x=2是否平分線段CD，并說明理由；
（3）已知拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)）和直線y=3x+m有兩個交點(diǎn)M，N，對于任意滿足條件的m，線段MN都能被直線x=h平分，請直接寫出h與a，b之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A，B到直線x=2的距離相等，求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，因?yàn)锽也在拋物線上，當(dāng)x=4代入拋物線的解析式求出y的值，即是點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線l₂的表達(dá)式；
（2）根據(jù)平移規(guī)律寫出直線l₃表達(dá)式，計(jì)算出直線l₃與直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)（2，-1.5），根據(jù)二次函數(shù)和直線l₃的解析式列方程組求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算CD的中點(diǎn)坐標(biāo)，恰好與直線l₃與直線x=2的交點(diǎn)重合，所以直線x=2平分線段CD；
（3）先設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)M、N是拋物線和直線y=3x+m的交點(diǎn)，列方程組得：x₁+x₂=-$\frac{b-3}{a}$，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列式可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=3，
∴A（0，3），
∴A到直線x=2的距離為2，
∵點(diǎn)A，B到直線x=2的距離相等，
∴B到直線x=2的距離為2，
∴B的橫坐標(biāo)為4，
當(dāng)x=4時，y=-$\frac{1}{2}$×4²+4+3=-1，
∴B（4，-1），
把A（0，3）和B（4，-1）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的表達(dá)式為：y=-x+3；
（2）直線x=2平分線段CD，理由是：
直線l₃表達(dá)式為：y=-x+3-$\frac{5}{2}$=-x+0.5，
當(dāng)x=2時，y=-2+0.5=-1.5，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+0.5}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=-4.5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=1.5}\end{array}\right.$，
∴C（-1，1.5）、D（5，-4.5），
∴線段CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為：x=$\frac{-1+5}{2}$=2，y=$\frac{1.5-4.5}{2}$=-1.5，
則直線x=2平分線段CD；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+bx+c}\\{y=3x+m}\end{array}\right.$，
ax²+（b-3）x+c-m=0，
則x₁、x₂是此方程的兩個根，
x₁+x₂=-$\frac{b-3}{a}$，
∵線段MN都能被直線x=h平分，
設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P，則P的橫坐標(biāo)為h，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：h=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{b-3}{2a}$．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，與方程組相結(jié)合，理解上有難度；要熟知中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若A（a，b），B（m，n），則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)x=$\frac{a+m}{2}$，y=$\frac{b+n}{2}$；兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)就是兩函數(shù)解析式所列方程組的解．