Question

如圖，分別以Rt△XYZ的直角邊和斜邊為邊向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角邊YZ=3，XZ=5，則六邊形ABCDEF的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：首先根據(jù)勾股定理求出XY，那么可求出三個(gè)正方形和△XYZ及△EFZ的面積，再根據(jù)已知圖形可求出∠DYC=180°-∠XYZ，
∠AXB=180°-∠YXZ，那么也能求出△CDY和△ABX的面積．三個(gè)正方形和四個(gè)三角形面積的和就是六邊形ABCDEF的面積

解答： 解：在Rt△XYZ中，根據(jù)勾股定理得：
XY²=YZ²+XZ²=3²+5²=34，
∴XY=

34

．
∴sin∠XYZ=

5

34

=

5 34

34

，sin∠YXZ=

3

34

=

3 34

34

，
所以得：
正方形AXZF的面積=5×5=25，
正方形DEZY的面積=3×3=9，
正方形BCYX的面積=

34

×

34

=34，
△XYZ的面積=

1

2

×3×5=

15

2

，
△EFZ的面積=

1

2

×3×5=

15

2

，
又∠AXB=360°-90°-90°-∠YXZ=180°-∠YXZ，
同理：∠DYC=180°-∠XYZ，
已知正方形AXZF、BCYX、DEZY，
∴AX=5，DY=3，BX=CY=

34

，
∴△ABX的面積=

1

2

AX•BX•sin∠AXB=

1

2

AX•BX•sin（180°-∠YXZ）
=

1

2

AX•BX•sin∠YXZ=

1

2

×2×

34

×

3 34

34

=3，
同理：△CDY的面積=

1

2

CY•DY•sin∠XYZ=

1

2

×

34

×3×

5 34

34

=

15

2

．
六邊形ABCDEF的面積=正方形AXZF的面積+正方形DEZY的面積+正方形BCYX的面積+△XYZ的面積+△EFZ的面積+△ABX的面積+△CDY的面積
=25+9+34+

15

2

+

15

2

+3+

15

2

=93.5．
故答案為：93.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、正方形面積和三角形面積．關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出XY，再是表示出∠DYC=180°-∠XYZ和∠AXB=180°-∠YXZ．