Question

15．如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，點(diǎn)G在直角邊BC上，BG=5，CG=1，將△DEF的頂點(diǎn)D放在直角邊AC上，直角邊DF經(jīng)過點(diǎn)G，斜邊DE經(jīng)過點(diǎn)B，則CD=2或3．

Answer 1

分析 作DM⊥AB于M，設(shè)CD=x，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，AB=$\sqrt{2}$BC=6$\sqrt{2}$，AD=6-x，證出△ADM是等腰直角三角形，得出AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），因此BM=6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），證明△CDG∽△MBD，得出對應(yīng)邊成比例，得出方程，解方程即可．

解答 解：作DM⊥AB于M，如圖所示：
設(shè)CD=x，
∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BG=5，CG=1，
∴AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=6$\sqrt{2}$，AD=6-x，△ADM是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），
∴BM=6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），
∵∠BDC=∠CDG+∠EDF=∠A+∠MBD，
∴∠CDG=∠MBD，
又∵∠DMB=90°=∠C，
∴△CDG∽△MBD，
∴$\frac{CD}{MB}=\frac{CG}{MD}$，
即$\frac{x}{6\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（6-x）}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}（6-x）}$，
解得：x=2，或x=3，
∴CD=2或3；
故答案為：2或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．