Question

20．如圖，一條光纖線路從A地到B地需要經(jīng)過C地，圖中AC=40千米，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設(shè)一條筆直的光纖線路．
（1）求新鋪設(shè)的光纖線路AB的長度；（結(jié)果保留根號）
（2）問整改后從A地到B地的光纖線路比原來縮短了多少千米？（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，利用∠CAD的正弦和余弦分別求出CD、AD，再利用∠CBA的正切求出BD，然后根據(jù)AB=AD+BD計算即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出BC，然后列式計算即可得解．

解答 解：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，
在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=AC•sin30°=40×$\frac{1}{2}$=20（千米），
AD=AC•cos∠CAD=AC•cos30°=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$（千米），
在Rt△BCD中，BD=$\frac{CD}{tan∠CBA}$=$\frac{20}{tan45°}$=$\frac{20}{1}$=20（千米），
∴AB=AD+DB=20$\sqrt{3}$+20=20（$\sqrt{3}$+1）（千米），
則新鋪設(shè)的光纖線路AB的長度20（$\sqrt{3}$+1）（千米）；

（2）在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}+2{0}^{2}}$=20$\sqrt{2}$（千米），
所以AC+CB-AB=40+20$\sqrt{2}$-20（$\sqrt{3}$+1）=20（1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）（千米），
則整改后從A地到B地的光纖線路比原來縮短了20（1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）千米．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要利用了銳角三角函數(shù)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．