Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AB=10cm，若P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向A移動，動點Q從A出發(fā)以1cm/s的速度向C移動．設(shè)P、Q同時分別從B、A同時出發(fā)，其中一點到達終點則P、Q均停止運動，設(shè)運動時間為ts，解答下列問題．
（1）PQ∥BC時，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時，△APQ與以AQ為腰的等腰三角形？

Answer 1

考點：平行線分線段成比例,等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）如圖1，先利用勾股定理計算出AC=6，根據(jù)平行線分線段成比例，由PQ∥BC得

PA

AB

=

AQ

AC

，即

10-2t

10

=

t

6

，然后解方程即可；
（2）作QH⊥PA于H，如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AH=PH=

1

2

AP=5-t，再證明Rt△AQH∽Rt△ABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得到

t

10

=

5-t

6

，然后解方程即可．

解答：解：（1）如圖1，∵∠C=90°，BC=8，AB=10，
∴AC=

AB2-BC2

=6，
PB=2t，AQ=t，則AP=10-2t，
∵PQ∥BC，
∴

PA

AB

=

AQ

AC

，即

10-2t

10

=

t

6

，
∴t=

30

11

（s）；
（2）①當(dāng)AQ=PQ時，作QH⊥PA于H，如圖2，
∵△APQ是以AQ為腰的等腰三角形，
∴AH=PH=

1

2

AP=

1

2

（10-2t）=5-t，
∵∠QAH=∠BAC，
∴Rt△AQH∽Rt△ABC，
∴

AQ

AB

=

AH

AC

，即

t

10

=

5-t

6

，
∴t=

25

8

（s）．
②同理，當(dāng)AQ=AP時，t=

10

3

s．
綜上所述，當(dāng)t=

25

8

或t=

10

3

s時，△APQ與以AQ為腰的等腰三角形．

點評：本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．也考查了等腰三角形的判定．