Question

11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，tan∠CBE=$\frac{1}{3}$，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，將△OCF繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODG，連接FG、FD，則△DFG的面積是$\frac{72}{5}$．

Answer 1

分析 首先在圖1中，證明射影定理AC²=AD•AB，在圖2中，根據(jù)射影定理證明△BOF∽△BED，得$\frac{OF}{DE}$=$\frac{OB}{BE}$，先求出CF，OF，再求出GD，DG即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖1，∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
而∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
如圖2中，∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC²=BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC²=BF•BE，
∴BO•BD=BF•BE，
即$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，
而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED，
∴$\frac{OF}{DE}$=$\frac{OB}{BE}$，
∵tan∠CBE=$\frac{1}{3}$=$\frac{EC}{BC}$，BC=12，
∴EC=4，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+E{C}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，DE=8，
∵$\frac{1}{2}$×BC×CE=$\frac{1}{2}$×BE×CF，
∴CF=$\frac{12×4}{4\sqrt{10}}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{OF}{8}$=$\frac{6\sqrt{2}}{4\sqrt{10}}$，
∴OF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
如圖3中，∵∠FOC=∠GOD，DG=CF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴∠GOF=∠DOC=90°，
∵OF=OG，
∴∠OFG=∠OGF=45°，
∴FG=$\sqrt{2}$OF=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，∠OFG=∠OGD=135°，
∴∠DGF=∠OGD-∠OGF=90°，
∴S_△DGF=$\frac{1}{2}$×DG×GF=$\frac{1}{2}$×$\frac{6\sqrt{10}}{5}$×$\frac{12\sqrt{10}}{5}$=$\frac{72}{5}$．
故答案為$\frac{72}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、射影定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用射影定理證明兩個(gè)三角形相似，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．