Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E為垂足，連結CD．
（1）求證：DB=DE；
（2）若BD=1，求AC的長．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）先根據直角三角形的性質求出∠ACB的度數，再由線段垂直平分線的性質得出CD=AD，根據角平分線的定義即可得出結論；
（2）先根據（1）中的結論求出DE的長，再由銳角三角函數的性質求出AE的長，進而得出結論．

解答：（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ACB=60°．
∵DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E為垂足，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴CD是∠ACB的平分線，
∴BD=DE；

（2）∵由（1）知BD=DE，
∴BD=DE=1，
∵∠A=30°，
∴AE=

DE

tan30°

=

1

3 3

=

3

．
∵DE是線段AC的垂直平分線，
∴AC=2AE=2

3

．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質，用到的知識點為：線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．