Question

19．直線AB∥CD，EF分別交AB、CD于點M、N，NP平分∠MND．
（1）如圖1，若MR平分∠EMB，則MR∥NP．請你把下面的解答過程補(bǔ)充完整：
解：因為AB∥CD（已知）
所以∠EMB=∠END（兩直線平行，同位角相等）
因為MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）
所以∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分線定義）
所以∠EMR=∠MNP
所以MR∥NP（同位角相等，兩直線平行）
（2）如圖2，若MR平分∠AMN，則MR與NP又怎樣的位置關(guān)系？請在橫線上寫出你的猜想結(jié)論：MR∥NP；
（3）如圖3，若MR平分∠BMN，則MR與NP又怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠EMB=∠END，由角平分線定義得出∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，證出∠EMR=∠MNP，即可得出結(jié)論；
（2）由平行線的性質(zhì)得出∠AMN=∠MND，由角平分線定義得出∠NMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，證出∠NMR=∠MNP，即可得出結(jié)論；
（3）由平行線的性質(zhì)得出∠BMN+∠MND=180°，由角平分線定義得出∠RMN=$\frac{1}{2}$∠BMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，證出∠RMN+∠MNP=90°，得出∠MON=90°即可．

解答 解：（1）因為AB∥CD（已知）
所以∠EMB=∠END（兩直線平行，同位角相等）
因為MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）
所以∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分線定義）
所以∠EMR=∠MNP
所以MR∥NP（同位角相等，兩直線平行）
故答案為：兩直線平行，同位角相等；同位角相等，兩直線平行；  
（2）MR∥NP；理由如下：
因為AB∥CD（已知）
所以∠AMN=∠MND（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
因為MR平分∠AMN，NP平分∠MND（已知）
所以∠NMR=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分線定義）
所以∠NMR=∠MNP
所以MR∥NP（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
故答案為：MR∥NP；                         
（3）MR⊥NP；理由如下：
因為AB∥CD，
所以∠BMN+∠MND=180°，
因為MR平分∠BMN，NP平分∠MND，
所以∠RMN=$\frac{1}{2}$∠BMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，
所以∠RMN+∠MNP=$\frac{1}{2}$（∠BMN+∠MND）=90°，
所以∠MON=90°，
所以MR⊥NP．

點評 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線定義、垂線的證明方法；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，注意兩者的區(qū)別．