Question

點A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點E，
（1）在圖1中有幾對相似三角形？請選一對加以證明．
（2）如圖2，過O作OF⊥BC于點F，
①求證：△AEB∽△OFC，
②若OF=3，求AD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）利用圓周角定理以及相似三角形的判定得出即可；
（2）①利用圓周角定理得出∠BAC=∠FOC，進而得出△AEB∽△OFC；
②利用相似三角形的性質(zhì)得出

OF

FC

=

AD

BC

，進而得出AD的長．

解答：解：（1）△ABE∽△CDE，△ADE∽△BCE，有2對，
證明：∵∠BAC=∠BDC，∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∵∠EAD=∠CBE，∠AED=∠BCE，
∴△ADE∽△BCE；

（2）①證明：連接BO，
∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠AEB=90°，∠CFO=90°，
∵OF⊥BC，
∴∠COF=

1

2

∠BOC，
∵∠BAC=

1

2

∠BOC，
∴∠BAC=∠FOC，
∴△AEB∽△OFC；
②解：由①知，△AEB∽△OFC，
∴

AE

BE

=

OF

FC

，
∵△AED∽△BEC，
∴

AE

BE

=

AD

BC

，
∴

OF

FC

=

AD

BC

，
∵BC=2FC，
∴AD=2OF=6．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識，熟練利用圓周角定理得出相等的角是解題關(guān)鍵．