Question

15．閱讀新知：移項(xiàng)且合并同類(lèi)項(xiàng)之后，只含有偶次項(xiàng)的四次方程稱(chēng)作雙二次方程．其一般形式為ax⁴+bx²+c=0（a≠0），一般通過(guò)換元法解之，具體解法是設(shè) x²=y，則原四次方程化為一元二次方程：ay²+by+c=0，解出y之后代入x²=y，從而求出x的值．例如解：4x⁴-8y²+3=0
解：設(shè)x²=y，則原方程可化為：4y²-8y+3=0
∵a=4，b=-8，c=3
∴b²-4ac=-（-8）²-4×4×3=16＞0
∴y=$\frac{-（-8）±\sqrt{16}}{2×4}$=$\frac{8±4}{8}$
∴y₁=$\frac{1}{2}$，
∴y₂=$\frac{3}{2}$
∴當(dāng)y₁=$\frac{1}{2}$時(shí)，x²=$\frac{1}{2}$
∴x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；當(dāng)y₁=$\frac{3}{2}$時(shí)，x²=$\frac{3}{2}$
∴x₃=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₄=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$
小試牛刀：請(qǐng)你解雙二次方程：x⁴-2x²-8=0
歸納提高：思考以上解題方法，試判斷雙二次方程的根的情況，下列說(shuō)法正確的是②③（選出所有的正確答案）
①當(dāng)b²-4ac≥0時(shí)，原方程一定有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)b²-4ac＜0時(shí)，原方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③當(dāng)b²-4ac≥0，并且換元之后的一元二次方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，換元之后的一元二次方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根時(shí)，原方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；④原方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，一定有b²-4ac＜0．

Answer 1

分析 先設(shè)y=x²，則原方程變形為y²-2y-8=0，運(yùn)用因式分解法解得y₁=-2，y₂=4，再把y=-2和4分別代入y=x²得到關(guān)于x的一元二次方程，然后解兩個(gè)一元二次方程，最后確定原方程的解．
根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷①②③④．

解答 解：x⁴-2x²-8=0
設(shè)y=x²，則原方程變?yōu)椋簓²-2y-8=0．
分解因式，得（y+2）（y-4）=0，
解得，y₁=-2，y₂=4，
當(dāng)y=-2時(shí)，x²=-2，x²+2=0，△=0-4×2＜0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)y=4時(shí)，x²=4，解得x₁=-2，x₂=2，
所以原方程的解為x₁=-2，x₂=2．
根據(jù)閱讀新知和小試牛刀即可判斷②③；
如：x⁴+4x²+3=0，雖然△=b²-4ac=16-12=4＞0，但原方程可化為（x²+1）（x²+3）=0，明顯，此方程無(wú)解；
所以，①④錯(cuò)誤，
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法解一元二次方程：當(dāng)所給方程是雙二次方程時(shí)，可考慮用換元法降次求解．