Question

2．AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，DA⊥AB，DO及DO的延長(zhǎng)線與⊙O分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EB與CF相交點(diǎn)G，⊙O的半徑為3，DC=4，求CH，OH，HK，DK，CK的長(zhǎng)及BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由CD與⊙O相切于點(diǎn)C可得出∠OCD=90°，結(jié)合DA⊥AB即可得出∠OAD=90°=∠OCD，再由公共邊OD即可通過(guò)全等三角形的判定定理HL證得兩直角三角形△OAD≌△OCD，由此得出∠AOD=∠COD，即得出OD⊥AC．在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，DC=4，由勾股定理及∠COD的正余弦值，可得出OD、CH、OH的長(zhǎng)度，由OK=OH+HK即可得出HK的長(zhǎng)度，結(jié)合OD=OK+DK可得出DK的長(zhǎng)度，最后再在Rt△CHK和Rt△ACB中由勾股定理算出CK與BC的長(zhǎng)．

解答 解：∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠OCD=90°，
∵DA⊥AB，
∴∠OAD=90°=∠OCD，
在Rt△OAD和Rt△OCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OCD（HL）．
∴∠AOD=∠COD．
又∵OA=OC，
∴OD⊥AC．
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，DC=4，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴sin∠COD=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{4}{5}$，cos∠COD=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{3}{5}$，
∴CH=OC•sin∠COD=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$，OH=OC•cos∠COD=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，HK=OK-OH=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，DK=OD-OK=5-3=2．
在Rt△CHK中，∠CHK=90°，CH=$\frac{12}{5}$，HK=$\frac{6}{5}$，
∴CK=$\sqrt{H{K}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2CH=$\frac{24}{5}$，AB=2OA=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形以及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出OD⊥AC，在各直角三角形中解決邊的長(zhǎng)度．本題屬于中檔題，難度不大，但該問(wèn)中要求6條線段的長(zhǎng)度，易造成混淆，解決該題型題目時(shí)，由邊角關(guān)系結(jié)合勾股定理算出邊長(zhǎng)是關(guān)鍵．