Question

7．在△ABC中，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，G為線段EF上一點(diǎn)，記△ABC、△AGC、△ABG、△GBC面積分別為S、S₁、S₂、S₃，已知S₁=λ₁S，S₂=λ₂S，S₃=λ₃S，且λ₃=2λ₁，則$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$=18．

Answer 1

分析 由點(diǎn)E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，可得△GFC的邊GF的高=△GFA的邊GF的高=△BCG的邊BC上的高，從而可得 S_△AGC=GF•h，S_△BCG=$\frac{1}{2}$BC•h，λ₃=2λ₁，可得S_△BCG=2S_△AGC，可求出BC=2EF，即點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，確定S₁=S₂，由S=S₁+S₂+S₃，可得λ₁值，從而得出λ₃，λ₂的值，代入$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$求解即可．

解答 解：如圖：
∵E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴△GFC的邊GF的高=△GFA的邊GF的高=△BCG的邊BC上的高，
設(shè)它們的高為h，
∴S_△AGC=S_△AGF+S_△CGF=$\frac{1}{2}$GF•h+$\frac{1}{2}$GF•h=GF•h，
S_△BCG=$\frac{1}{2}$BC•h，
∵△ABC、△AGC、△ABG、△GBC面積分別為S、S₁、S₂、S₃，S₁=λ₁S，S₃=λ₃S，且λ₃=2λ₁，
∴S₃=2S₁，即S_△BCG=2S_△AGC，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=2GF•h，
∴BC=4GF，
∵BC=2EF，
∴點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，
∴S_△EGA=S_△AGF，S_△EGB=S_△GFC
∴S₁=S₂，
∵S=S₁+S₂+S₃，即S=λ₁S+λ₂S+λ₃S=4λ₁S，
∴λ₁=$\frac{1}{4}$，
∴λ₃=$\frac{1}{2}$，λ₁=λ₂=$\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$=4+8+6=18．
故答案為：18．

點(diǎn)評 本題主要考查了面積及等積變換，解題的關(guān)鍵是正確的求出點(diǎn)G在EF上的位置．